微积分三
向量与向量值函数
点积（Dot Products）
已知两个二维或者三维的非零向量u和v，它们的点积是
$$
u·v=|u| \times |v|cos \theta
$$
其中，$\theta$是u与v之间的夹角，且$0 \le \theta \le \pi$。
正交向量（Orthogonal Vectors）
当两个向量u和v称为是正交，有u·v=0。这两个正交的非零向量相互垂直。
点积（Dot Products）
已知两个向量$u=<u_1,u_2,u_3>$和$v=<v_1,v_2,v_3>$,
$$
u·v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3
$$
正交投影（Orthogonal Projection of u into v）
u在v上的（正交投影）
设$v \ne 0$,则u在v上的正交投影是
$$
proj_vu=|u|cos \theta(\frac{v}{|v|})
$$
正交投影也可以用如下的公式计算
$$
proj_vu=scal_vu(\frac{v}{|v|})=(\frac{u·v}{v·v})v
$$
其中u在v方 ...
大学物理(三)
1.电荷和电场
1.1 静电，电荷及其保护
电荷守恒定律
在任何过程中，产生的电荷量的净变化为零。
例如，当用一条毛巾摩擦一个塑料尺子时，该塑料获得一个负电荷，而该毛巾获得一个等量的正电荷。电荷是分开的，但两者的和是零。
1.4感应电荷和验电器
在带电棒没有接触验电器时，此时无论电荷还是验电器中的电荷不变，体现同性相斥，异性相吸。
在带电棒接触验电器后，正负电荷进行中和。
1.5库仑定律
$$
F=k\frac{Q_1Q_2}{R^2}
$$
常数$k\approx 9.0 \times 109N·m2/C^2$
元电荷$e=1602 \times 10^{-19}C$
介电常数（permittivity）
在等式中的常数k通常用另一个常数(介电常数)$\epsilon_0 $来写
$$
F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 }\frac{Q_1Q_2}{r^2}
$$
$$
\epsilon_0 =\frac{1}{4 \pi k}=8.85 \times 10{-12}C2/N·m^2
$$
常见题型
在一条直线有三个电荷，对其中的某一个电荷进行受力分 ...
常微分
常微分
1.1 简介
一阶线性方程
性质
微分方程 --> 包含未知函数和未知函数的导数
微分方程的解 —> 是在某个区间成立（区间范围也可以是无穷）
例如：一个常微分方程
$$
x’(t)-x(t)=0
$$
此微分方程的解是$x（t）=e^{t}$,其解的区间是$(-\infty ,\infty )$
描述的就是未知函数和导数的关系（注意他们的解的区间)
常微分和偏微分
常微分（ODE）：一维的（包含一个未知量）
偏微分(PDE)：多维的（包含多个未知量）
常微分的次数
常微分最高阶的导数就是它的阶数
例如
$ x’(t) - x(t) = 0 $ 最高阶导数为一阶导，其阶数为一阶
$x’'(t) - x(t) = 0$ 最高阶导数为二阶导， 其阶数为二阶
一个特殊写法
通常情况下微分方程$x’(t)-x(t)=0$
可以把x(t)简化得写成x
化简后得写法是$x’-x=0$
1.2 简单的例子
最重要的一个概念
一个关于x(t)的微分方程
$$
x’(t)=kx(t),k\in R
$$
此时，方程的通解为
$$
x(t) = c ...
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